Зручний і дуже точний спосіб, який вживається землемірами для проведення на місцевості перпендикулярних ліній, полягає в наступному. Нехай через точку А потрібно до прямої MN провести перпендикуляр (рис. 13). Відкладають від А у напрямку AM три рази якусь відстань а. Потім зав'язують на шнурі три вузла, відстані між якими рівні 4а і 5а. Приклавши крайні вузли до точок А і В, натягують шнур за середній вузол. Шнур розташується трикутником, в якому кут А - прямий.
Цей древній спосіб, мабуть, застосовувався ще тисячоліття назад будівельниками єгипетських пірамід, заснований на тому, що кожен трикутник, сторони якого відносяться, як 3: 4: 5, згідно загальновідомою теоремі Піфагора, - прямокутний, так як
3 2 + 4 2 = 5 2 .
Крім чисел 3, 4, 5, існує, як відомо, безліч цілих позитивних чисел а, b, с, які відповідають співвідношенню
А 2 + b 2 \u003d з 2.
Вони називаються піфагорових числами. Згідно з теоремою Піфагора такі числа можуть служити довжинами сторін деякого прямокутного трикутника; тому а й b називають "катетами", а з - "гипотенузой".
Ясно, що якщо а, b, з є трійка піфагорових чисел, то і ра, Рb, рс, де р - цілочисельний множник, - піфагорові числа. Назад, якщо піфагорові числа мають спільний множник, то на цей загальний множник можна їх все скоротити, і знову вийде трійка піфагорових чисел. Тому будемо спочатку досліджувати лише трійки взаємно простих піфагорових чисел (інші виходять з них множенням на цілочисельний множник р).
Покажемо, що в кожній з таких трійок а, b, з один з "катетів" повинен бути парним, а інший непарних. Станом міркувати "від протилежного". Якщо обидва "катета" а і b парних, то парних буде число a 2 + b 2, a значить, і "гіпотенуза". Це, однак, суперечить тому, що числа а, b, з не мають загальних множників, так як три парних числа мають спільний множник 2. Таким чином, хоч один з "катетів" а, b непарне.
Залишається ще одна можливість: обидва "катета" непарні, а "гіпотенуза" парна. Неважко довести, що цього не може бути. Справді: якщо "катети" мають вигляд
2х + 1 і 2у + 1,
то сума їх квадратів дорівнює
4х 2 + 4х + 1 + 4у 2 + 4у + 1 \u003d 4 (х 2 + х + у 2 + у) + 2,
т. е. є число, яке при діленні на 4 дає в залишку 2. Тим часом квадрат будь-якого парного числа повинен ділитися на 4 без залишку. Значить, сума квадратів двох непарних чисел не може бути квадратом парного числа; інакше кажучи, наші три числа - НЕ піфагорові.
Отже, з "катетів" а, b один парний, а інший непарний. Тому число а 2 + b 2 непарній, а значить, непарна і "гіпотенуза" с.
Припустимо, для визначеності, що непарних є "катет" а, а парних b. з рівності
а 2 + b 2 \u003d з 2
ми легко отримуємо:
А 2 \u003d з 2 - b 2 \u003d (з + b) (с - b).
Множники з + b і з - b, що стоять в правій частині, взаємно прості. Дійсно, якби ці числа мали загальний простий множник, відмінний від одиниці, то на цей множник ділилися б і сума
(З + b) + (з - b) \u003d 2с,
і різниця
(З + b) - (с - b) \u003d 2b,
і твір
(З + b) (с - b) \u003d а 2,
т. е. числа 2с, 2b і а мали б загальний множник. Так як а непарній, то цей множник відмінний від двійки, і тому цей же загальний множник мають числа а, b, с, чого, однак, не може бути. Отримане протиріччя показує, що числа з + b і з - b взаємно прості.
Але якщо твір взаємно простих чисел є точний квадрат, то кожне з них є квадратом, т. Е.
Вирішивши цю систему, знайдемо:
C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, а 2 \u003d (з + b) (с - b) \u003d m 2 n 2, а \u003d mn.
Отже, розглянуті піфагорові числа мають вигляд
A \u003d mn, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, з \u003d (m 2 + n 2) / 2.
де m і n - деякі взаємно прості непарні числа. Читач легко може переконатися і в зворотному: при будь-яких непарних тип написані формули дають три піфагорових числа а, b, с.
Ось кілька трійок піфагорових чисел, одержуваних при різних тип:
При m \u003d 3, n \u003d 1 3 2 + 4 2 \u003d 5 2 при m \u003d 5, n \u003d 1 5 2 + 12 2 \u003d 13 2 при m \u003d 7, n \u003d 1 7 2 + 24 2 \u003d 25 2 при m \u003d 9, n \u003d 1 9 2 + 40 2 \u003d 41 2 при m \u003d 11, n \u003d 1 11 2 + 60 2 \u003d 61 2 при m \u003d 13, n \u003d 1 13 2 + 84 2 \u003d 85 2 при m \u003d 5 , n \u003d 3 15 2 + 8 2 \u003d 17 2 при m \u003d 7, n \u003d 3 21 2 + 20 2 \u003d 29 2 при m \u003d 11, n \u003d 3 33 2 + 56 2 \u003d 65 2 при m \u003d 13, n \u003d 3 39 2 + 80 2 \u003d 89 2 при m \u003d 7, n \u003d 5 35 2 +12 2 \u003d 37 2 при m \u003d 9, n \u003d 5 45 2 + 28 2 \u003d 53 2 при m \u003d 11, n \u003d 5 55 2 + 48 2 \u003d 73 2 при m \u003d 13, n \u003d 5 65 2 + 72 2 \u003d 97 2 при m \u003d 9, n \u003d 7 63 2 + 16 2 \u003d 65 2 при m \u003d 11, n \u003d 7 77 2 + 36 2 \u003d 85 2
(Всі інші трійки піфагорових чисел або мають спільні множники, або містять числа, великі ста.)
властивості
оскільки рівняння x 2 + y 2 = z 2 однорідно, при домноженіі x , y і z на одне і те ж число вийде інша Числа Піфагора. Числа Піфагора називається примітивної, Якщо вона не може бути отримана таким способом, тобто - взаємно прості числа.
приклади
Деякі піфагорові трійки (відсортовані по зростанню максимального числа, виділені примітивні):
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…
Грунтуючись на властивостях чисел Фібоначчі, можна скласти з них, наприклад, такі піфагорові трійки:
.Історія
Піфагорові трійки відомі дуже давно. В архітектурі древнемесопотамского надгробків зустрічається трикутник, складений з двох прямокутних зі сторонами 9, 12 і 15 ліктів. Піраміди фараона Снофру (XXVII століття до н. Е.) Побудовані з використанням трикутників зі сторонами 20, 21 і 29, а також 18, 24 і 30 десятків єгипетських ліктів.
Див. також
посилання
- Е. А. Горін Ступеня простих чисел в складі піфагорових трійок // математичне просвітництво. - 2008. - В. 12. - С. 105-125.
Wikimedia Foundation. 2010 року.
Дивитися що таке "Піфагорови числа" в інших словниках:
Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, напр. трійка чисел: 3, 4, 5 ... Великий Енциклопедичний словник
Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, наприклад трійка чисел: 3, 4, 5. * * * піфагорових ЧИСЛА піфагорових ЧИСЛА, трійки таких натуральних чисел, що ... ... енциклопедичний словник
Трійки натуральних чисел таких, що трикутник, довжини сторін якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним. По теоремі, зворотної теоремі Піфагора (див. Піфагора теорема), для цього досить, щоб вони ... ...
Трійки цілих позитивних чисел х, у, z, що задовольняють рівняння x2 + у 2 \u003d z2. Всі рішення цього рівняння, а отже, і все П. ч. Виражаються формулами х \u003d а 2 b2, y \u003d 2ab, z \u003d a2 + b2, де а, b довільні цілі позитивні числа (а\u003e b). П. ч ... математична енциклопедія
Трійки таких натуральних чисел, що трикутник, довжини сторін до якого пропорційні (або рівні) цим числам, є прямокутним, напр. трійка чисел: 3, 4, 5 ... Природознавство. енциклопедичний словник
В математиці піфагорових числами (Піфагора трійкою) називається кортеж з трьох цілих чисел задовольняють співвідношенню Піфагора: x2 + y2 \u003d z2. Зміст 1 Властивості 2 Приклади ... Вікіпедія
Фігурні числа загальна назва чисел, пов'язаних з тією чи іншою геометричною фігурою. Це історичне поняття сходить до піфагорійцям. Імовірно від фігурних чисел виникло вираз: «Звести число в квадрат або в куб». Зміст ... ... Вікіпедія
Фігурні числа загальна назва чисел, пов'язаних з тією чи іншою геометричною фігурою. Це історичне поняття сходить до піфагорійцям. Розрізняють такі види фігурних чисел: Лінійні числа числа, які не розкладаються на множники, тобто їх ... ... Вікіпедія
- «Парадокс числа пі» жарт на тему математики, що мала ходіння в середовищі студентів до 80 х років (фактично, до масового поширення мікрокалькуляторів) і була пов'язана з обмеженою точністю обчислень тригонометричних функцій і ... ... Вікіпедія
- (грец. Arithmetika, від arithmys число) наука про числа, в першу чергу про натуральні (цілих позитивних) числах і (раціональних) дробах, і діях над ними. Володіння досить розвиненим поняттям натурального числа і вміння ... ... Велика Радянська Енциклопедія
книги
- Архимедова літо, або Історія співдружності юних математиків. Двійкова система числення, Бобров Сергій Павлович. Двійкова система числення, "Ханойська вежа", хід коня, магічні квадрати, арифметичний трикутник, фігурні числа, поєднання, поняття про можливості, стрічка Мебіуса і пляшка Клейна. ...
»Заслуженого професора математики Уорікського університету, відомого популяризатора науки Іена Стюарта, присвяченій ролі чисел в історії людства і актуальності їх вивчення в наш час.
пифагорова гіпотенуза
Піфагорові трикутники мають прямий кут і цілочисельні боку. У найпростішого з них найдовша сторона має довжину 5, інші - 3 і 4. Всього існує 5 правильних багатогранників. Рівняння п'ятого ступеня неможливо вирішити за допомогою коренів п'ятого ступеня - або будь-яких інших коренів. Грати на площині і в тривимірному просторі не мають п'ятипелюсткової симетрії обертання, тому такі симетрії відсутні і в кристалах. Однак вони можуть бути у решіток в чотиривимірному просторі і в цікавих структурах, відомих як квазікристалів.
Гіпотенуза найменшої Піфагора трійки
Теорема Піфагора говорить, що найдовша сторона прямокутного трикутника (горезвісна гіпотенуза) співвідноситься з двома іншими сторонами цього трикутника дуже просто і красиво: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох інших сторін.
Традиційно ми називаємо цю теорему ім'ям Піфагора, але насправді історія її досить туманна. Глиняні таблички дозволяють припустити, що стародавні вавилоняни знали теорему Піфагора задовго до самого Піфагора; славу першовідкривача приніс йому математичний культ піфагорійців, прихильники якого вірили, що Всесвіт заснована на числових закономірностях. Стародавні автори приписували піфагорійцям - а значить, і Піфагору - найрізноманітніші математичні теореми, але насправді ми уявлення не маємо про те, який математикою займався сам Піфагор. Ми навіть не знаємо, чи могли піфагорійці довести теорему Піфагора чи просто вірили в те, що вона вірна. Або, що найбільш ймовірно, у них були переконливі дані про її істинності, яких проте не вистачило б на те, що ми вважаємо доказом сьогодні.
докази Піфагора
Перше відоме доказ теореми Піфагора ми знаходимо в «Засадах» Евкліда. Це досить складне доведення з використанням креслення, в якому вікторіанські школярі одразу впізнали б «піфагорові штани»; креслення і правда нагадує сохнуть на мотузці підштаники. Відомі буквально сотні інших доказів, більшість з яких робить доказувана твердження більш очевидним.
// Мал. 33. Піфагорови штани
Одне з найпростіших доказів - це свого роду математичний пазл. Візьміть будь-який прямокутний трикутник, зробіть чотири його копії і зберіть їх усередині квадрата. При одній укладанні ми бачимо квадрат на гіпотенузі; при іншій - квадрати на двох інших сторонах трикутника. При цьому ясно, що площі в тому і в іншому випадку рівні.
// Мал. 34. Зліва: квадрат на гіпотенузі (плюс чотири трикутника). Справа: сума квадратів на двох інших сторонах (плюс ті ж чотири трикутника). А тепер виключіть трикутники
Розсічення Перігаля - ще один доказ-пазл.
// Мал. 35. Розсічення Перігаля
Існує також доказ теореми з використанням укладання квадратів на площині. Можливо, саме так піфагорійці або їх невідомі попередники відкрили цю теорему. Якщо поглянути на те, як косою квадрат перекриває два інших квадрата, то можна побачити, як розрізати великий квадрат на шматки, а потім скласти з них два менших квадрата. Можна побачити також прямокутні трикутники, сторони яких дають розміри трьох задіяних квадратів.
// Мал. 36. Доказ науковістю
Є цікаві докази з використанням подібних трикутників в тригонометрії. Відомо принаймні п'ятдесят різних доказів.
піфагорові трійки
У теорії чисел теорема Піфагора стала джерелом плідної ідеї: знайти цілочисельні рішення алгебраїчних рівнянь. Числа Піфагора - це набір цілих чисел a, b і c, таких що
Геометрично така трійка визначає прямокутний трикутник з цілочисельними сторонами.
Найменша гіпотенуза Піфагора трійки дорівнює 5.
Інші дві сторони цього трикутника дорівнюють 3 і 4. Тут
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
Наступна за величиною гіпотенуза дорівнює 10, тому що
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
Однак це, по суті, той самий трикутник з подвоєними сторонами. Наступна за величиною і по-справжньому інша гіпотенуза дорівнює 13, для неї
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
Евклід знав, що існує нескінченне число різних варіантів піфагорових трійок, і дав те, що можна назвати формулою для знаходження їх усіх. Пізніше Діофант Олександрійський запропонував простий рецепт, в основному збігається з евклідовим.
Візьміть будь-які два натуральних числа і обчисліть:
їх подвоєне твір;
різницю їх квадратів;
суму їх квадратів.
Три одержані числа будуть сторонами пифагорова трикутника.
Візьмемо, наприклад, числа 2 і 1. Обчислимо:
подвоєне твір: 2 × 2 × 1 \u003d 4;
різницю квадратів: 22 - 12 \u003d 3;
сума квадратів: 22 + 12 \u003d 5,
і ми отримали знаменитий трикутник 3-4-5. Якщо взяти замість цього числа 3 і 2, отримаємо:
подвоєне твір: 2 × 3 × 2 \u003d 12;
різницю квадратів: 32 - 22 \u003d 5;
суму квадратів: 32 + 22 \u003d 13,
і отримуємо наступний за популярністю трикутник 5 - 12 - 13. Спробуємо взяти числа 42 і 23 і отримаємо:
подвоєне твір: 2 × 42 × 23 \u003d 1932;
різницю квадратів: 422 - 232 \u003d 1 235;
сума квадратів: 422 + 232 \u003d 2293,
ніхто ніколи не чув про трикутнику 1235-1932-2293.
Але ці числа теж працюють:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
У диофантово правилі є ще одна особливість, на яку вже натякали: отримавши три числа, ми можемо взяти ще одне довільне число і все їх на нього помножити. Таким чином трикутник 3-4-5 можна перетворити в трикутник 6-8-10, помноживши всі сторони на 2, або в трикутник 15-20-25, помноживши все на 5.
Якщо перейти на мову алгебри, правило набуває такого вигляду: нехай u, v і k - натуральні числа. Тоді прямокутний трикутник зі сторонами
2kuv і k (u2 - v2) має гіпотенузу
Існують і інші способи викладу основної ідеї, але всі вони зводяться до описаного вище. Цей метод дозволяє отримати всі піфагорові трійки.
правильні багатогранники
Існує зовсім п'ять правильних багатогранників. Правильний багатогранник (або поліедр) - це об'ємна фігура з кінцевим числом плоских граней. Грані сходяться один з одним на лініях, що іменуються ребрами; ребра зустрічаються в точках, іменованих вершинами.
Кульмінацією евклідових «Почав» є доказ того, що може бути тільки п'ять правильних багатогранників, тобто багатогранників, у яких кожна грань являє собою правильний багатокутник (рівні сторони, рівні кути), всі грані ідентичні і всі вершини оточені рівним числом однаково розташованих граней. Ось п'ять правильних багатогранників:
тетраедр з чотирма трикутними гранями, чотирма вершинами і шістьма ребрами;
куб, або гексаедр, з 6 квадратними гранями, 8 вершинами і 12 ребрами;
октаедр з 8 трикутними гранями, 6 вершинами і 12 ребрами;
додекаедр з 12 п'ятикутними гранями, 20 вершинами і 30 ребрами;
ікосаедр з 20 трикутними гранями, 12 вершинами і 30 ребрами.
// Мал. 37. П'ять правильних багатогранників
Правильні багатогранники можна знайти і в природі. У 1904 р Ернст Геккель опублікував малюнки крихітних організмів, відомих як радіолярії; багато з них за формою нагадують ті самі п'ять правильних багатогранників. Можливо, правда, він трохи підправив природу, і малюнки не відображають повністю форму конкретних живих істот. Перші три структури спостерігаються також в кристалах. Додекаедру і ікосаедра в кристалах ви не знайдете, хоча неправильні додекаедри і ікосаедр там іноді трапляються. Справжні додекаедри можуть виникати у вигляді квазікристалів, які в усьому схожі на кристали, за винятком того, що їх атоми не утворюють періодичної решітки.
// Мал. 38. Малюнки Геккеля: радіолярії в формі правильних багатогранників
// Мал. 39. Розгортки правильних багатогранників
Буває цікаво робити моделі правильних багатогранників з паперу, вирізавши попередньо набір з'єднаних між собою граней - це називається розгорткою багатогранника; розгортку складають по ребрах і склеюють відповідні ребра між собою. Корисно додати до одного з ребер кожної такої пари додатковий майданчик для клею, як показано на рис. 39. Якщо такого майданчика немає, можна використовувати липку стрічку.
Рівняння п'ятого ступеня
Не існує алгебраїчної формули для вирішення рівнянь 5-го ступеня.
У загальному вигляді рівняння п'ятого ступеня виглядає так:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f \u003d 0.
Проблема в тому, щоб знайти формулу для рішень такого рівняння (у нього може бути до п'яти рішень). Досвід поводження з квадратними і кубічними рівняннями, а також з рівняннями четвертого ступеня дозволяє припустити, що така формула повинна існувати і для рівнянь п'ятого ступеня, причому в ній, по ідеї, повинні фігурувати коріння п'ятої, третьої і другого ступеня. Знову ж таки, можна сміливо припустити, що така формула, якщо вона існує, виявиться дуже і дуже складною.
Це припущення в кінцевому підсумку виявилося помилковим. Справді, ніякої такої формули не існує; принаймні не існує формули, що складається з коефіцієнтів a, b, c, d, e і f, складеної з використанням додавання, віднімання, множення і ділення, а також вилучення коренів. Таким чином, в числі 5 є щось зовсім особливе. Причини такого незвичайного поведінки п'ятірки вельми глибокі, і було потрібно немало часу, щоб в них розібратися.
Першою ознакою проблеми стало те, що, як би математики не старалися відшукати таку формулу, якими б розумними вони не були, вони незмінно зазнавали невдачі. Деякий час усі вважали, що причини криються в неймовірної складності формули. Вважалося, що ніхто просто не може як слід розібратися в цій алгебрі. Однак з часом деякі математики почали сумніватися в тому, що така формула взагалі існує, а в 1823 р Нільс Хендрік Абель зумів довести зворотне. Такий формули не існує. Незабаром після цього Еваріст Галуа знайшов спосіб визначити, вирішується чи рівняння тій чи іншій мірі - 5-й, 6-й, 7-й, взагалі будь-який - з використанням такого роду формули.
Висновок з усього цього простий: число 5 особливе. Можна вирішувати алгебраїчні рівняння (за допомогою коренів n-го ступеня для різних значень n) для ступенів 1, 2, 3 і 4, але не для 5-го ступеня. Тут очевидна закономірність закінчується.
Нікого не дивує, що рівняння ступенів більше 5 поводяться ще гірше; зокрема, з ними пов'язана така ж труднощі: немає загальних формул для їх вирішення. Це не означає, що рівняння не мають рішень; це не означає також, що неможливо знайти дуже точні чисельні значення цих рішень. Вся справа в обмеженості традиційних інструментів алгебри. Це нагадує неможливість трисекции кута за допомогою лінійки і циркуля. Відповідь існує, але перераховані методи недостатні і не дозволяють визначити, яка вона є.
кристалографічної обмеження
Кристали в двох і трьох вимірах не мають 5-променевої симетрії обертання.
Атоми в кристалі утворюють решітку, тобто структуру, яка періодично повторюється в кількох незалежних напрямках. Наприклад, малюнок на шпалерах повторюється по довжині рулону; крім того, він зазвичай повторюється і в горизонтальному напрямку, іноді із зсувом від одного шматка шпалер до наступного. По суті, шпалери - це двовимірний кристал.
Існує 17 різновидів шпалерних малюнків на площині (див. Розділ 17). Вони розрізняються за типами симетрії, тобто за способами зрушити жорстко малюнок таким чином, щоб він точно ліг сам на себе в первісному положенні. До типам симетрії відносяться, зокрема, різні варіанти симетрії обертання, де малюнок слід повернути на певний кут навколо певної точки - центру симетрії.
Порядок симетрії обертання - це те, скільки разів можна повернути тіло до повного кола так, щоб всі деталі малюнка повернулися на початкові позиції. Наприклад, поворот на 90 ° - це симетрія обертання 4-го порядку *. Список можливих типів симетрії обертання в кристалічній решітці знову вказує на незвичайність числа 5: його там немає. Існують варіанти з симетрією обертання 2, 3, 4 і 6-го порядків, але жоден шпалер малюнок не має симетрії обертання 5-го порядку. Симетрії обертання порядку більше 6 в кристалах теж не буває, але перше порушення послідовності відбувається все ж на числі 5.
Те ж відбувається з кристалографічними системами в тривимірному просторі. Тут решітка повторює себе по трьох незалежних напрямках. Існує 219 різних типів симетрії, або 230, якщо рахувати дзеркальне відображення малюнка окремим його варіантом - при тому, що в даному випадку немає дзеркальної симетрії. Знову ж таки, спостерігаються симетрії обертання порядків 2, 3, 4 і 6, але не 5. Цей факт отримав назву кристаллографического обмеження.
В чотиривимірному просторі решітки з симетрією 5-го порядку існують; взагалі, для решіток досить високої розмірності можливий будь-який наперед заданий порядок симетрії обертання.
// Мал. 40. Кристалічні ґрати кухонної солі. Темні кульки зображують атоми натрію, світлі - атоми хлору
квазікристалів
Хоча симетрія обертання 5-го порядку в двовимірних і тривимірних гратах неможлива, вона може існувати в трохи менш регулярних структурах, відомих як квазікристалів. Скориставшись начерками Кеплера, Роджер Пенроуз відкрив плоскі системи з більш загальним типом п'ятикратної симетрії. Вони отримали назву квазікристалів.
Квазікристали існують в природі. У 1984 р Даніель Шехтман відкрив, що сплав алюмінію і марганцю може утворювати квазікристали; спочатку кристалографи зустріли його повідомлення з деяким скепсисом, але пізніше відкриття було підтверджено, і в 2011 р Шехтман був удостоєний Нобелівської премії з хімії. У 2009 році команда вчених під керівництвом Луки Бінді виявила квазікристали в мінералі з російського Коряцького нагір'я - з'єднанні алюмінію, міді і заліза. Сьогодні цей мінерал називається Ікосаедр. Вимірявши за допомогою мас-спектрометра зміст в мінералі різних ізотопів кисню, вчені показали, що цей мінерал виник не на Землі. Він сформувався близько 4,5 млрд років тому, в той час, коли Сонячна система тільки зароджувалася, і провів більшу частину часу в поясі астероїдів, звертаючись навколо Сонця, поки якийсь обурення не змінило його орбіту і не привело його в кінці кінців на землю.
// Мал. 41. Зліва: одна з двох квазікристалічних решіток з точною п'ятикратної симетрією. Справа: атомна модель ікосаедрічеськая алюмінієво-палладиевой-марганцевого квазікристала
Далі розглянемо відомі способи генерації ефективних піфагорових трійок. Учні Піфагора були першими, хто винайшли простий спосіб генерації піфагорових трійок, використовуючи формулу, частини якої представляють пифагорову трійку:
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,
де m - непарне, m\u003e 2. дійсно,
4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4
Аналогічну формулу запропонував давньогрецький філософ Платон:
(2m) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,
де m - будь-яке число. для m \u003d 2,3,4,5 генеруються наступні трійки:
(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).
Як бачимо, ці формули не можуть дати всі можливі примітивні трійки.
Россмотрім наступний поліном, який розкладається на суму поліномів:
(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m(m+1)) 2 + (2m +1) 2 .
Звідси такі формули для отримання примітивних трійок:
a = 2m +1 , b = 2m(m+1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.
Ці формули генерують трійки, в яких середнє число відрізняється від найбільшого рівно на одиницю, тобто також генеруються не всі можливі трійки. Тут перші трійки дорівнюють: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).
Щоб визначити спосіб генерації всіх примітивних трійок, слід досліджувати їхні властивості. По-перше, якщо ( a, b, c) - примітивна трійка, то a і b, b і c, а і c - повинні бути взаємно простими. нехай a і b поділяються на d. тоді a 2 + b 2 - також ділиться на d. відповідно, c 2 і c повинні ділитися на d. Тобто, це не є примітивна трійка.
По-друге, серед чисел a, b одне повинно бути парним, а інше - непарним. Дійсно, якщо a і b - парні, то і з буде парним, і числа можна поділити принаймні на 2. Якщо вони обидва непарні, то їх можна представити як 2 k+1 i 2 l+1, де k,l - деякі числа. тоді a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1, тобто, з 2, як і a 2 + b 2, при діленні на 4 має залишок 2.
нехай з - будь-яке число, тобто з = 4k+i (i\u003d 0, ..., 3). тоді з 2 = (4k+i) 2 має залишок 0 або 1 і не може мати залишок 2. Таким чином, a і b не можуть бути непарними, тобто a 2 + b 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 і залишок від ділення з 2 на 4 повинен бути 1, що означає, що з має бути непарним.
Такі вимоги до елементів Піфагора трійки задовольняють наступні числа:
a = 2mn, b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n, (2)
де m і n - взаємно прості з різною парністю. Вперше ці залежності стали відомими з праць Евкліда, який жив 2300 р. назад.
Доведемо справедливість залежностей (2). нехай а - парне, тоді b і c - непарні. тоді c + b i c − b - парні. Їх можна представити як c + b = 2u і c − b = 2v, де u,v - деякі цілі числа. Тому
a 2 = з 2 − b 2 = (c + b)(c − b) = 2u· 2 v = 4uv
І тому ( a/2) 2 = uv.
Можна довести від супротивного, що u і v - взаємно прості. нехай u і v - поділяються на d. тоді ( c + b) І ( c − b) поділяються на d. І тому c і b повинні ділитися на d, А це суперечить умові до Піфагора трійці.
Так як uv = (a/ 2) 2 і u і v - взаємно прості, то нескладно довести, що u і v повинні бути квадратами якихось чисел.
Таким чином, є позитивні цілі числа m і n , Такі що u = m 2 і v = n 2. тоді
а 2 = 4uv = 4m 2 n 2, так що
а = 2mn; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .
Так як b \u003e 0, то m > n.
Залишилося показати, що m і n мають різну парність. якщо m і n - парні, то u і v повинні бути парними, а це неможливо, так як вони взаємно прості. якщо m і n - непарні, то b = m 2 − n 2 і c = m 2 + n 2 були б парними, що неможливо, так як c і b - взаємно прості.
Таким чином, будь-яка примітивна Числа Піфагора повинна задовольняти умови (2). При цьому числа m і n називаються генеруючими числами примітивних трійок. Наприклад, нехай маємо примітивну пифагорову трійку (120,119,169). В цьому випадку
а \u003d 120 \u003d 2 · 12 · 5, b \u003d 119 \u003d 144 - 25, і c = 144+25=169,
де m = 12, n \u003d 5 - генеруючі числа, 12\u003e 5; 12 і 5 - взаємно прості і різної парності.
Можна довести зворотне, що числа m, n за формулами (2) дають примітивну пифагорову трійку (a, b, c). дійсно,
а 2 + b 2 = (2mn) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,
Тобто ( a,b,c) - Числа Піфагора. Доведемо, що при цьому a,b,c - взаємно прості числа від противного. Нехай ці числа діляться на p \u003e 1. Так як m і n мають різну парність, то b і c - непарні, тобто p ≠ 2. Так як р ділить b і c, то р має ділити 2 m 2 і 2 n 2, а це неможливо, так як p ≠ 2. Тому m, n - взаємно прості і a,b,c - теж взаємно прості.
У таблиці 1 показані всі примітивні піфагорові трійки, згенерованих за формулами (2) для m≤10.
Таблиця 1. Примітивні піфагорові трійки для m≤10
| m | n | a | b | c | m | n | a | b | c |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 8 | 1 | 16 | 63 | 65 |
| 3 | 2 | 12 | 5 | 13 | 8 | 3 | 48 | 55 | 73 |
| 4 | 1 | 8 | 15 | 17 | 8 | 5 | 80 | 39 | 89 |
| 4 | 3 | 24 | 7 | 25 | 8 | 7 | 112 | 15 | 113 |
| 5 | 2 | 20 | 21 | 29 | 9 | 2 | 36 | 77 | 85 |
| 5 | 4 | 40 | 9 | 41 | 9 | 4 | 72 | 65 | 97 |
| 6 | 1 | 12 | 35 | 37 | 9 | 8 | 144 | 17 | 145 |
| 6 | 5 | 60 | 11 | 61 | 10 | 1 | 20 | 99 | 101 |
| 7 | 2 | 28 | 45 | 53 | 10 | 3 | 60 | 91 | 109 |
| 7 | 4 | 56 | 33 | 65 | 10 | 7 | 140 | 51 | 149 |
| 7 | 6 | 84 | 13 | 85 | 10 | 9 | 180 | 19 | 181 |
Аналіз цієї таблиці показує наявність наступного ряду закономірностей:
- або a, або b діляться на 3;
- одне з чисел a,b,c ділиться на 5;
- число а ділиться на 4;
- твір, добуток a· b ділиться на 12.
У 1971 р американські математики Тейган і Хедвін для генерації трійок запропонували такі маловідомі параметри прямокутного трикутника, як його зростання (height) h = c - b і надлишок (success) е = a + b − c. На рис.1. показані ці величини на деякому прямокутному трикутнику.
Малюнок 1. Прямокутний трикутник і його зростання і надлишок
Назва "надлишок" є похідним від того, що це додатковий відстань, яке необхідно пройти по катетам трикутника з однієї вершини в протилежну, якщо не йти по його діагоналі.
Через надлишок і зростання боку піфагорових трикутника можна виразити як:
e 2 e 2
a = h + e, b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h
Не всі комбінації h і e можуть відповідати піфагорових трикутниках. для заданого h можливі значення e - це твори деякого числа d. це число d має назву приросту і відноситься до h наступним чином: d - це найменше позитивне ціле число, квадрат якого ділиться на 2 h. Так як e кратне d, То воно записується як e = kd, де k - позитивне ціле.
За допомогою пар ( k,h) Можна згенерувати всі піфагорові трикутники, включаючи непрімітівние і узагальнені, в такий спосіб:
(dk) 2 (dk) 2
a = h + dk, b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h
Причому трійка є примітивною, якщо k і h - взаємно прості і якщо h =± q 2 при q - непарному.
Крім того, це буде саме Числа Піфагора, якщо k \u003e √2 · h/d і h > 0.
Щоб знайти k і h з ( a,b,c), Виконують такі дії:
- h = c − b;
- записують h як h = pq 2, де p \u003e 0 і таке, що не є квадратом;
- d = 2pq якщо p - непарне і d = pq , Якщо p - парне;
- k = (a − h)/d.
Наприклад, для трійки (8,15,17) маємо h \u003d 17-15 \u003d 2 · 1, так що p \u003d 2 і q = 1, d \u003d 2, і k \u003d (8 - 2) / 2 \u003d 3. Так що ця трійка задається як ( k,h) = (3,2).
Для трійки (459,1260,1341) маємо h \u003d 1341 - 1260 \u003d 81, так що p = 1, q \u003d 9 і d \u003d 18, звідси k \u003d (459 - 81) / 18 \u003d 21, так що код цієї трійки дорівнює ( k,h) = (21, 81).
Завдання трійок за допомогою h і k має ряд цікавих властивостей. параметр k дорівнює
k = 4S/(dP), (5)
де S = ab/ 2 - площа трикутника, а P = a + b + c - його периметр. Це випливає з рівності eP = 4S, Яке виходить з теореми Піфагора.
Для прямокутного трикутника e дорівнює діаметру вписаного в трикутник кола. Це виходить з того, що гіпотенуза з = (а − r)+(b − r) = a + b − 2r, де r - радіус кола. Звідси h = c − b = а − 2r і е = a − h = 2r.
для h \u003e 0 і k > 0, k є порядковим номером трійок a-b-c в послідовності піфагорових трикутників з ростом h. З таблиці 2, де представлено кілька варіантів трійок, згенерованих парами h, k, Видно, що зі збільшенням k зростають величини сторін трикутника. Таким чином, на відміну від класичної нумерації, нумерація парами h, k має більший порядок в послідовності трійок.
Таблиця 2. Піфагорови трійки, згенерованих парами h, k.
| h | k | a | b | c | h | k | a | b | c |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 3 | 1 | 9 | 12 | 15 |
| 2 | 2 | 6 | 8 | 10 | 3 | 2 | 15 | 36 | 39 |
| 2 | 3 | 8 | 15 | 17 | 3 | 3 | 21 | 72 | 75 |
| 2 | 4 | 10 | 24 | 26 | 3 | 4 | 27 | 120 | 123 |
| 2 | 5 | 12 | 35 | 37 | 3 | 5 | 33 | 180 | 183 |
для h > 0, d задовольняє нерівність 2√ h ≤ d ≤ 2h, В якому нижня межа досягається при p \u003d 1, а верхня - при q \u003d 1. Тому значення d щодо 2√ h - це міра того, наскільки число h віддалене від квадрата деякого числа.
Піфагорові трійки чисел
Творча робота
учня 8 "A" класу
МАОУ «Гімназія №1»
Жовтневого району м Саратова
Панфілова Володимира
Керівник - вчитель математики вищої категорії
Гришина Ірина Володимирівна
зміст
Запровадження ................................................................................................ 3
Теоретична частина роботи
Знаходження основного піфагорова трикутника
(Формули стародавніх індусів) ........................................................................ 4
Практична частина роботи
Складання піфагорових трійок різними способами ........................ ........ 6
Важлива властивість піфагорових трикутників .......................................... ... 8
Висновок .......................................................................................... .... 9
Література .... ....................................................................................... ... 10
Вступ
У цьому навчальному році на уроках математики ми вивчили одну з найпопулярніших теорем геометрії - теорему Піфагора. Теорема Піфагора застосовується в геометрії на кожному кроці, вона знайшла широке застосування в практиці і повсякденному житті. Але, крім самої теореми, ми вивчили також і теорему, зворотний до теоремі Піфагора. У зв'язку з вивченням вже цієї теореми, у нас відбулося знайомство з Числа Піфагора чисел, тобто з наборами з 3-х натуральних чиселa , b іc , Для яких справедливо співвідношення: = + . До таких наборів відносять, наприклад, такі трійки:
3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37
У мене відразу виникли питання: а скільки піфагорових трійок можна придумати? А як їх складати?
У нашому підручнику геометрії після викладу теореми, зворотної теоремі Піфагора, було зроблено важливе зауваження: можна довести, що катетиа іb і гіпотенузаз прямокутних трикутників, довжини сторін яких виражаються натуральними числами, можна знаходити за формулами:
а \u003d 2kmn b \u003d k ( - ) C \u003d k ( + , (1)
деk , m , n - будь-які натуральні числа, причомуm > n .
Природно, виникає питання - як довести дані формули? І тільки за цими формулами можна складати піфагорові трійки?
У своїй роботі я здійснив спробу відповісти на виниклі у мене питання.
Теоретична частина роботи
Знаходження основного піфагорова трикутника (формули стародавніх індусів)
Спочатку доведемо формули (1):
Позначимо довжини катетів черезх іу , А довжину гіпотенузи черезz . По теоремі Піфагора маємо рівність:+ = .(2)
Дане рівняння називають рівнянням Піфагора. Дослідження піфагорових трикутників зводиться до вирішення в натуральних числах рівняння (2).
Якщо кожну сторону деякого пифагорова трикутника збільшити в одне і те ж число раз, то отримаємо новий прямокутний трикутник, подібний даному зі сторонами, вираженими натуральними числами, тобто знову пифагоров трикутник.
Серед усіх подібних трикутників існує найменший, легко здогадатися, що це буде трикутник, сторони якогох іу виражаються взаємно простими числами
(НОД (х, у )=1).
Такий пифагоров трикутник назвемоосновним .
Відшукання основних піфагорових трикутників.
Нехай трикутник (x , y , z ) - основний пифагоров трикутник. числах іу - взаємно прості, і тому не можуть бути обидва парними. Доведемо, що вони не можуть бути обидва і непарними. Для цього зауважимо, щоквадрат непарного числа при діленні на 8 дає в залишку 1. Справді, будь-який непарне натуральне число можна представити у вигляді2 k -1 , деk належитьN .
Звідси: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.
числа( k -1) іk - послідовні, одне з них обов'язково парне. тоді виразk ( k -1) ділиться на2 , 4 k ( k -1) ділиться на 8, а значить, число при розподілі на 8 дає в залишку 1.
Сума квадратів двох непарних чисел дає при діленні на 8 в залишку 2, отже, сума квадратів двох непарних чисел є число парне, але не кратне 4, а тому це числоне може бути квадратом натурального числа.
Отже, рівність (2) не може мати місця, якщоx іу обидва непарні.
Таким чином, якщо пифагоров трикутник (х, у, z ) - основний, то серед чиселх іу одне повинно бути парним, а інше - непарних. Нехай число у є парним. числах іz непарні (непарністьz випливає з рівності (2)).
з рівняння+ = отримуємо, що= ( z + x )( z - x ) (3).
числаz + x іz - x як сума і різниця двох непарних чисел - числа парні, а тому (4):
z + x = 2 a , z - x = 2 b , деа іb належатьN .
z + x =2 a , z - x = 2 b ,
z = a + b , x = a - b. (5)
З цих рівностей випливає, щоa іb - взаємно прості числа.
Доведемо це, розмірковуючи від протилежного.
Нехай НСД (a , b )= d , деd >1 .
тодіd z іx , А отже, і чиселz + x іz - x . Тоді на підставі рівності (3) було б дільником числа . В такому випадкуd був би загальним дільником чиселу іх , Але числау іх повинні бути взаємно простими.
числоу , Як відомо, парне, томуу \u003d 2с , дез - натуральне число. Рівність (3) на підставі рівності (4) приймає наступний вигляд: \u003d 2а * 2 b , або \u003d Ab.
З арифметики відомо, щоякщо добуток двох взаємно простих чисел є квадратом натурального числа, то кожне з цих чисел також є квадратом натурального числа.
значить,а \u003d іb = , деm іn - взаємно прості числа, тому що вони є дільниками взаємно простих чисела іb .
На підставі рівності (5) маємо:
z = + , x = - , = ab = * = ; з \u003d mn
тодіу \u003d 2 mn .
числаm іn , Тому що є взаємно простими, не можуть бути одночасно парними. Але і непарними одночасно бути не можуть, тому що в цьому випадкух \u003d - було б парних, що неможливо. Отже, одне з чисел,m абоn парне, а інше непарне. очевидно,у \u003d 2 mn ділиться на 4. Отже, в кожному основному Піфагора трикутнику хоча б один з катетів ділиться на 4. Звідси випливає, що немає піфагорових трикутників, всі сторони якого були б простими числами.
Отримані результати можна виразити у вигляді наступної теореми:
Всі основні трикутники, в якиху є парним числом, виходять з формули
х \u003d - , y =2 mn , z = + ( m > n ), деm іn - всі пари взаємно простих чисел, з яких одне є парним, а інше непарних (байдуже, яке). Кожна основна Числа Піфагора (х, у, z ), Деу - парне, - визначається цим способом однозначно.
числаm іn не можуть бути обидва парними або обидва непарними, тому що в цих випадках
х \u003d були б парними, що неможливо. Отже, одне з чиселm абоn парне, а інше непарне (y = 2 mn ділиться на 4).
Практична частина роботи
Складання піфагорових трійок різними способами
У формулах індусівm іn - взаємно прості, але можуть бути числами довільної парності і складати піфагорові трійки по ним досить важко. Тому спробуємо знайти інший підхід до складання піфагорових трійок.
= - = ( z - y )( z + y ), дех - непарне,y - парне,z - непарне
v = z - y , u = z + y
= uv , деu - непарне,v - непарне (взаємно прості)
Оскільки твір двох непарних взаємно простих чисел є квадратом натурального числа, тоu = , v = , деk іl - взаємно прості, непарні числа.
z - y = z + y = k 2 , звідки, складаючи рівності і віднімаючи з одного інше, одержуємо:
2 z = + 2 y = - тобто
z \u003d y \u003d x \u003d kl
k
l
x
y
z
37
9
1
9
40
41 (sнулів)*(100…0 (sнулів) +1)+1 =200…0 (S-1нулів) 200…0 (S-1нулів) 1
Важлива властивість піфагорових трикутників
теорема
В основному Піфагора трикутнику один з катетів обов'язково ділиться на 4, один з катетів обов'язково ділиться на 3 і площа пифагорова трикутника обов'язково кратна 6.
Доведення
Як нам відомо, у всякому пифагоровом трикутнику хоча б один з катетів ділиться на 4.
Доведемо, що один з катетів ділиться і на 3.
Для доказу припустимо, що в пифагоровом трикутнику (x , y , z x абоy кратно 3.
Тепер доведемо, що площа пифагорова трикутника ділиться на 6.
Всякий пифагоров трикутник має площу, відображену натуральним числом, кратним 6. Це випливає з того, що хоча б один з катетів ділиться на 3 і хоча б один з катетів ділиться на 4. Площа трикутника, яка визначається полупроізведеніем катетів, повинна виражатися числом, кратним 6 .
висновок
В роботі
- доведені формули стародавніх індусів
-проведена дослідження на кількість піфагорових трійок (їх нескінченно багато)
-вказати способи знаходження піфагорових трійок
-Вивчити деякі властивості піфагорових трикутників
Для мене це була дуже цікава тема і знаходити відповіді на мої запитання стало дуже цікавим заняттям. Надалі я планую розглянути зв'язок піфагорових трійок з послідовністю Фібоначчі і теоремою Ферма і дізнатися ще багато властивостей піфагорових трикутників.
література
Л.С. Атанасян "Геометрія.7-9 класи" М .: Просвещение, 2012.
В. Серпінського "Піфагорови трикутники" М.: Учпедгиз, 1959.
Саратов
2014