طريقة مريحة ودقيقة للغاية تستخدمها العدسات اللازمة لتنفيذ الخطوط العمودي على التضاريس هي كما يلي. فليكن عموديا لتنفيذ عموديا إلى MN مباشرة لتنفيذ نقطة أ. الديكور من أ في اتجاه أنا ثلاث مرات بعض المسافة أ. ثم ربط ثلاثة عقدة على الحبل، المسافات التي تساوي 4A و 5 أ. بعد إرفاق العقد القصوى إلى النقاط A و B، تمتد الحبل العقدة الوسطى. سيكون الحبل مثلث، حيث الزاوية مباشرة.
تستند هذه الطريقة القديمة، على ما يبدو، الذي استخدم منذ الألفية الأخرى من قبل بناة الأهرامات المصريين، إلى حقيقة أن كل مثلث، والأطراف التي تتعلق بها، كما 3: 4: 5، وفقا لنظرية Pythagora المعروفة، هو مستطيل، منذ
3 2 + 4 2 = 5 2 .
بالإضافة إلى الأرقام 3، 4، 5، هناك، كما تعلمون، عدد عدد صحيح عدد صحيح عدد إيجابي A، B، مع إرضاء النسبة
2 + ب 2 \u003d ج 2.
يطلق عليهم أرقام Pythagora. وفقا لنظرية Pythagora، يمكن أن تكون هذه الأرقام بمثابة أطوال جوانب بعض مثلث مستطيل؛ لذلك، تسمى A و B "فئات"، ومع "Hypotenuse".
من الواضح أنه إذا كان A، B، C هو الجزء العلوي من Pythagoras، و AR، PB، PC، حيث P هو عدد صحيح، - أرقام Pythagoras. مرة أخرى إذا كانت أرقام Pythagora لها عامل مشترك، فيمكنك تقليلها إلى هذه المضاعف العام، وأعلى عدد أرقام Peborovy مرة أخرى. لذلك، فإننا نستكشف أولا فقط أعلى ثلاثة أرقام بيثاغورا البسيطة المتبادلة (يتم الحصول على البقية بضربها إلى مضاعف عدد صحيح P).
نظهر أنه في كل من هذه Troks A، B، مع أحد "القسطرة" يجب أن يكون حتى، والغريب الآخر. سنقول "من العكس". إذا كانت كلا "فئات" A و B هي حتى، فإن الرقم A 2 + B 2، ويعني "Hypotenuse". ومع ذلك، يتناقض هذا بحقيقة أن الأرقام أ، ب، مع عدم وجود مضاعفات مشتركة، لأن ثلاثة أرقام حتى لديها مضاعف عام 2. وهكذا، واحدة على الأقل من "القسطرة" أ، ب ليس كذلك.
يبقى إمكانية أخرى: كلاهما "كيت" غريب، و "hypotenuse" هو حتى. ليس من الصعب إثبات أن هذا لا يمكن أن يكون. في الواقع: إذا كانت "Kartets"
2x + 1 و 2 أ + 1،
ثم مجموع المربعات الخاصة بهم يساوي
4X 2 + 4X + 1 + 4U 2 + 4U + 1 \u003d 4 (× 2 + X + في 2 + Y) + 2،
أي ذلك، إنه رقم، عند تقسيم 4 يعطي في البقايا 2. وفي الوقت نفسه، يجب تقسيم مربع أي عدد حتى إلى 4 دون بقايا. وهذا يعني أن مجموع المربعات من أرقامين فرديين لا يمكن أن يكون مربعا رقما؛ بمعنى آخر، لدينا الأرقام الثلاثة ليست فيثاغورا.
لذلك، من "القسطرة" A، B واحد هو حتى، وغريب آخر. لذلك، فإن الرقم A 2 + B 2 غريب، وبالتالي غريبة و "hypotenuse" مع.
لنفترض، لليقين، الغريب هو "catat"، وحتى ب. من المساواة
2 + ب 2 \u003d ج 2
نحصل بسهولة على:
A 2 \u003d C 2 - B 2 \u003d (C + B) (C - B).
المزارعين C + B و C - B، يقف في الجزء الأيمن، بسيطة طنانية. في الواقع، إذا كانت هذه الأرقام مضاعف مشترك بسيط، بخلاف الوحدة، فسيتم تقسيم المبلغ إلى هذه المضاعف
(C + B) + (C - B) \u003d 2C،
والفرق
(C + B) - (C - B) \u003d 2B،
والعمل
(C + B) (C - B) \u003d A 2،
أي الأرقام 2C، 2B، ولكن سيكون لها عامل مشترك. نظرا لأن هذا أمر غريب، فإن هذه المضاعف مختلفة عن Twos، وبالتالي فإن العامل العام نفسه يحتوي على أرقام أ، ب، مع ما لا يمكن أن يكون عليه. توضح التناقض الناتج أن الأرقام C + B و C - B هي بسيطة طنانية.
ولكن إذا كان منتج الأرقام البسيطة المتبادلة هو المربع الدقيق، فكل منهم مربع، أي،
تحديد هذا النظام، نجد:
c \u003d (m 2 + n 2) / 2، b \u003d (m 2 - n 2) / 2، a 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2، a \u003d mn.
لذا، فإن أرقام Pythagora قيد الدراسة
a \u003d mn، b \u003d (m 2 - n 2) / 2، c \u003d (m 2 + n 2) / 2.
حيث m و n هما بعض الأرقام الفردية البسيطة المتبادلة. يمكن للقارئ بسهولة مقتنع في العكس: مع أي نوع غريب، تعطي الصيغ المكتوبة ثلاثة فيثاغوراس أ، ب، ص.
فيما يلي عدد قليل من أرقام Pythagora التي تم الحصول عليها في أنواع مختلفة:
في M \u003d 3، N \u003d 1 3 2 + 4 2 \u003d 5 2 في M \u003d 5، N \u003d 1 5 2 + 12 2 \u003d 13 2 في M \u003d 7، N \u003d 1 7 2 + 24 2 \u003d 25 2 في م \u003d 9، n \u003d 1 9 2 + 40 2 \u003d 41 2 في M \u003d 11، n \u003d 1 11 + 60 2 \u003d 61 2 في M \u003d 13، N \u003d 1 13 2 + 84 2 \u003d 85 2 في M \u003d 5 ، ن \u003d 3 15 2 + 8 2 \u003d 17 2 في M \u003d 7، n \u003d 3 21 2 + 20 2 \u003d 29 2 في m \u003d 11، n \u003d 3 33 2 + 56 2 \u003d 65 2 في m \u003d 13، n \u003d 3 39 2 + 80 2 \u003d 89 2 في m \u003d 7، n \u003d 5 35 2 + 12 2 \u003d 37 2 في m \u003d 9، n \u003d 5 45 2 + 28 2 \u003d 53 2 في m \u003d 11، n \u003d 5 55 2 + 48 2 \u003d 73 2 في M \u003d 13، N \u003d 5 65 2 + 72 2 \u003d 97 2 في M \u003d 9، n \u003d 7 63 2 + 16 2 \u003d 65 2 في m \u003d 11، n \u003d 7 77 2 + 36 2 \u003d 85 2
(جميع أرقام البيتثكة الثلاثة الأخرى هي أو تحتوي على مضاعفات مشتركة، أو تحتوي على أرقام، مائة كبيرة.)
الخصائص
منذ المعادلة عاشر 2 + ذ. 2 = z. 2 بشكل موحد، خلال عاشر , ذ. و z. واحد ونفس الرقم سوف يتحول ترويكا pytagorova آخر. يسمى Pytagorova Troika بدائيةإذا كان لا يمكن الحصول عليها بهذه الطريقة، أي أرقام بسيطة متبادلة.
أمثلة
بعض البياغابة هي قوات (مرتبة حسب زيادة الحد الأقصى لعدد، يتم تمييز البدائية):
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…
استنادا إلى خصائص أرقام Fibonacci، يمكنك تعويضها، على سبيل المثال، مثل هذه Pythagoras ثلاثة:
.تاريخ
Pythagora Troika معروف لفترة طويلة جدا. توجد بنية المثلث القديم في الهندسة المعمارية للمثلث القديم، حيث تم تجميعها من مستطيلين مع الأطراف 9 و 12 و 15 مرفقيا. تم بناء الأهرامات من Pharaoh Snofer (XXVII CENTURY BC) باستخدام مثلثات مع الأحزاب 20 و 21 و 29، بالإضافة إلى 18 و 24 و 30 عشر من المرفقين المصريين.
أنظر أيضا
روابط
- E. A. Gorin. درجات الأرقام الرئيسية في تكوين Pythagora Trok // التنوير الرياضيوبعد - 2008. - V. 12. - P. 105-125.
مؤسسة ويكيميديا. 2010.
شاهد ما هو "أرقام فيثاغوراس" في القواميس الأخرى:
ثلاثة من هذه الأرقام الطبيعية التي تكون المثلث، طول الجانبين الذي يتناسب مع هذه الأرقام، مستطيلة، على سبيل المثال. ثلاثة أرقام: 3، 4، 5 ... الموسع الكبير القاموس
ثلاثة من هذه الأرقام الطبيعية التي تكون مثلث، طول الجانبين الذي يتناسب مع هذه الأرقام، مستطيلة، على سبيل المثال، الأرقام الثلاثة: 3، 4، 5. * * Pythagoras من عدد أرقام Pythagora، ثلاثة من هذه الأرقام الطبيعية التي ... ... ... الموسع القاموس
قوات الأرقام الطبيعية مثل مثلث، طول الجانبين الذي يتناسب مع (أو متساوي) هذه الأرقام مستطيلة. بواسطة نظرية، نظرية بيثاجور العكسية (انظر نظرية Pythagora)، فهي كافية ... ... ...
قوات الأرقام الإيجابية الصحيحة X، Y، Z، تلبية المعادلة X2 + 2 \u003d Z2. جميع حلول هذه المعادلة، وبالتالي، جميع p. h. يتم التعبير عنها من قبل الصيغ X \u003d A 2 B2، Y \u003d 2AB، Z \u003d A2 + B2، حيث A، B الأعداد الصحيحة العاظم التعسفي (A\u003e B). P. H ... الموسوعة الرياضية
ثلاثة من هذه الأرقام الطبيعية التي تكون المثلث، أطوال الأطراف متناسبة مع هذه الأرقام، مستطيلة، على سبيل المثال. ثلاثة أرقام: 3، 4، 5 ... علم الطبيعة. الموسع القاموس
في الرياضيات، تسمى Pythagoras (Pythahorova Troika) Tuple من ثلاثة أعداد صحيحة تلبية نسبة Pythagora: X2 + Y2 \u003d Z2. محتويات 1 عقارات 2 أمثلة ... ويكيبيديا
أحسب الأرقام الاسم العام للأرقام المرتبطة بشخصية هندسية معينة. هذا المفهوم التاريخي يعود إلى البيطريين. يزعم أن أعرب عن أرقام مجعد: "بناء رقم في مربع أو مكعب". المحتوى ... ... ويكيبيديا
أحسب الأرقام الاسم العام للأرقام المرتبطة بشخصية هندسية معينة. هذا المفهوم التاريخي يعود إلى البيطريين. هناك الأنواع التالية من الأرقام المعتمدة: أعداد خطية للأرقام التي لا تتحلل في العوامل، أي أنها ... ويكيبيديا
- "مفارقة من PI" نكتة حول موضوع الرياضيات، بعد المشي في منتصف الطلاب إلى الثمانينيات (في الواقع، إلى الانتشار الشامل للكمالات) وارتبط بدقة محدودة لحساب وظائف المثلثات و ... ... ويكيبيديا
- (اليونانية. Arithmetika، من العريض رقم) علم الأرقام، في المقام الأول حول الأرقام الطبيعية (الإيجابية العصرية) والكسور (العقلانية) والإجراءات عليها. حيازة مفهوم متطور بما فيه الكفاية للعدد الطبيعي والمهارة ... ... موسوعة السوفياتية الكبرى
كتب
- Archimedovo الصيف، أو تاريخ كومنولث عالم الرياضيات الشباب. نظام الأرقام الثنائية، بوبروف سيرجي بافلوفيتش. نظام الأرقام الثنائية، "برج خانيان"، ركوب الخيل، المربعات السحرية، مثلث حسابي، أرقام مجعد، مجموعات، مفهوم الاحتمالات، شريط موبيوس وزجاجة كلاين. ...
- كرم الأستاذ الرياضيات بجامعة واريكا، الشهيرة الشهيرة لعلم إيان ستيوارت، مكرسة لدور الأرقام في تاريخ البشرية وأهمية دراستهم في عصرنا.
pytagorova hypotenuse.
مثلثات Pythagora لها زاوية مباشرة وأجانب عدد صحيح. في أبسطهم، طول أطول طول 5، المتبقية - 3 و 4. لا يوجد سوى 5 polyhedra الصحيح. من المستحيل حل المعادلة في الدرجة الخامسة بمساعدة جذور الدرجة الخامسة - أو أي جذور أخرى. لا تملك المشابك على متن الطائرة وفي مساحة ثلاثية الأبعاد تناظرية من خمس نقاط للتناوب، وبالتالي فإن هذه التماثل ليست غائبة في البلورات. ومع ذلك، يمكن أن يكونوا في المشابك في مساحة أربع أبعاد وفي الهياكل المتقدمة المعروفة باسم شبه الحديديات.
hypotenuse من أصغر pythagorough ثلاثة
تنص نظرية Pythagoreo على أن أطول جانب من مثلث مستطيل (Hypotenuse الشهير) يرتبط مع جوانبين آخرين من هذا المثلث بسيط جدا وجميل: ساحة Hypotenuse تساوي مجموع المربعات من الجانبين الآخرين.
تقليديا، نحن نسمي هذا نظرية فيثاغورا، ولكن في الواقع قصة لها ضبابي تماما. تشير لوحات الطين إلى أن البابليون القدماء كانوا يعرفون نظرية بيثاغورا قبل فترة طويلة من بيثاغورا نفسها؛ أحضر شهرة المكتشف عبادة رياضية من البياغاجوريين، الذين يعتقد أنصارهم أن الكون يستند إلى القوانين العددية. ويعزى المؤلفون القدماء إلى البياغاغوريين - وبالتالي، وبالتالي، فإن Pythagora هو مجموعة متنوعة من النظرية الرياضية، ولكن في الواقع ليس لدينا أي فكرة عن ما شارك به فيثاجور الرياضيات نفسه. نحن لا نعرف حتى إذا كان البياغاغوريون يمكن أن يثبت نظرية البياثورة أو يعتقدون فقط أنها كانت صحيحة. أو، على الأرجح، لديهم بيانات مقنعة عن الحقيقة، ومع ذلك لن يكون لها ما يكفي لما نعتبره أدلة اليوم.
دليل على pythagora.
أول دليل إثبات على نظرية البياغاجور نجد في "بداية" Euclidea. هذا دليل معقد تماما باستخدام الرسم، حيث يدرك تلاميذ المدارس الفيكتورية على الفور "سروال فيثورا"؛ يتم تذكير الرسم والحقيقة بتجفيف المجاهدين التجفيف على الحبل. حرفيا مئات من الأدلة الأخرى معروفة، معظمها تحقق موافقة أثبتت أكثر وضوحا.
// تين. 33. Pythagora السراويل
أحد أبسط الأدلة هو نوع من اللغز الرياضي. خذ أي مثلث مستطيل، وجعل أربع نسخ منها وجمعها داخل الساحة. في وضع واحد، ونحن نرى المربع على hypotenuse؛ مع الآخر، المربعات على الجانبين الآخرين من المثلث. من الواضح أن المربع متساوي في نفس الحالة.
// تين. 34. اليسار: مربع على انخفاض ضغط الدم (بالإضافة إلى أربعة مثلثات). صحيح: مجموع المربعات على الجانبين الآخرين (بالإضافة إلى نفس المثلثات الأربعة). والآن استبعاد مثلثات
صنع perigal - لغز دليل آخر.
// تين. 35. تشريح perigal.
هناك أيضا دليل على Theorem باستخدام وضع مربع على متن الطائرة. ربما هذا هو كيف فتح البياغاغيا أو أسلافهم المجهولين هذا Theorem. إذا نظرت إلى كيفية تداخل مربع مائل مربعين آخرين، فيمكنك أن ترى كيفية قطع مربع كبير إلى قطع، ثم أضعاف مربعين أصغر منهم. يمكنك أيضا رؤية المثلثات المستطيلة، وجوانبها التي تمنح حجم المربعات الثلاثة المعنية.
// تين. 36. دليل على الرصف
هناك أدلة مثيرة للاهتمام باستخدام مثلثات مماثلة في علم المثلثات. ومن المعروف ما لا يقل عن خمسين أدلة مختلفة.
Pythagora Troika.
في نظرية الأرقام، أصبح نظرية Pythagorea مصدر فكرة مثمرة: للعثور على حلول عدد صحيح لمعادلات الجبرية. Pytagorova Troika هي مجموعة من الأعداد الصحيحة A، B و C، بحيث
هندسي، مثل هذا الثلاثي يحدد مثلث مستطيل مع الجانبين عدد صحيح.
أصغر ما يقف من Troika Pythagoras هو 5.
الجانبان الآخران من هذا المثلث يساوي 3 و 4. هنا
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
الجزء التالي أكبر نقص المنفاق يساوي 10، ل
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
ومع ذلك، فإن هذا هو في الأساس نفس مثلث مع الأحزاب المضاعفة. الأكبر الأكبر والعناية حقا هو 13، لها
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
عرفت Euclidean أنه كان هناك عدد لا حصر له من مختلف المتغيرات في Pythagora Trok، وأعطى ما يمكن أن يسمى الصيغة للعثور عليها جميعا. في وقت لاحق، عرضت إيوفيانت الإسكندرية وصفة بسيطة، وخاصة التزامن مع euclidean.
خذ أي رقمين طبيعيين وحساب:
عملهم المزدوج
الفرق بين المربعات الخاصة بهم؛
مجموع المربعات الخاصة بهم.
ستكون ثلاثة أرقام وردت جوانب مثلث Pythazhov.
خذ، على سبيل المثال، الأرقام 2 و 1. حساب:
العمل المزدوج الجناح: 2 × 2 × 1 \u003d 4؛
الاختلافات المربعة: 22 - 12 \u003d 3؛
ملخص المربعات: 22 + 12 \u003d 5،
وحصلنا على مثلث الشهير 3-4-5. إذا كنت تأخذ الرقم 3 و 2 بدلا من ذلك، نحصل على:
العمل Twoful: 2 × 3 × 2 \u003d 12؛
الاختلافات المربعة: 32 - 22 \u003d 5؛
summary: 32 + 22 \u003d 13،
ونحن نحصل على المثلث التالي 5 - 12 - 13، حاول أن تأخذ أرقام 42 و 23 واحصل على:
udfieldy: 2 × 42 × 23 \u003d 1932؛
الاختلافات المربعة: 422 - 232 \u003d 1235؛
الساحات المبلغ: 422 + 232 \u003d 2293،
لم يسمع أحد من أي وقت مضى من المثلث 1235-1932-2293.
لكن هذه الأرقام تعمل أيضا:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
في قاعدة ديوفانية، هناك ميزة أخرى، والتي لم تلمح بالفعل: بعد أن تلقى ثلاثة أرقام، يمكننا أن نأخذ رقم تعسفي آخر وتضاعفها عليها. وبالتالي، يمكن تحويل مثلث 3-4-5 إلى مثلث 6-8-10، مضاعفة جميع الأطراف بمقدار 2، أو في مثلث 15-20-25، مضاعفة كل شيء في 5.
إذا ذهبت إلى لغة الجبر، فإن القاعدة أصبحت النموذج التالي: اسمح لك، V و K كن أرقاما طبيعية. ثم مثلث مستطيل مع الطرفين
2kuv و k (u2 - v2) لديه hypotenuse
هناك طرق أخرى لتقديم الفكرة الرئيسية، لكنهم جميعا يقللون جميعهم أعلاه. تتيح لك هذه الطريقة الحصول على جميع pythagoras ترويكا.
Folhedra اليمين
هناك حساب سلس خمسة polyhedra الصحيح. يعد PolyHedron الصحيح (أو Polyhedron) شخصية مجنحة عدد محدود من الوجوه المسطحة. تتلاقى الحواف مع بعضها البعض على الخطوط التي تسمى الأضلاع؛ تم العثور على الأضلاع في النقاط التي تسمى القمم.
تتويجا في "بدأت" دليل "بدأ" دليل على أنه يمكن أن يكون هناك خمسة فكلية صحيحة فقط، أي بوليهاها، حيث كل جانب هو المضلع المناسب (الجانب المساواة، زوايا متساوية)، جميع الوجوه متطابقة وجميع القمم محاطة من خلال عدد متساو من نفس الوجوه. هنا خمسة بوليهايدرا اليمنى:
tetrahedron مع أربعة حواف الثلاثي، أربع رؤوس وستة أضلاع؛
مكعب، أو Hexahedr، مع 6 وجوه مربع، 8 رؤوس و 12 أضلاعا؛
octahedron مع 8 وجوه الثلاثية، 6 رؤوس و 12 أضلاعا؛
dodecahedron مع 12 غدة البيرانيولية، 20 رأسا و 30 أضلاعا؛
ikosahedron مع 20 وجوه الثلاثية، 12 رأسا و 30 أضلاعا.
// تين. 37. خمسة بوليهايدا الحق
يمكن العثور على polyhedra الصحيحة في الطبيعة. في عام 1904، نشر إرنست غاريل رسومات من الكائنات الصغيرة المعروفة باسم الرادولارية؛ كثير منهم يشبه خمسة فيدا اليمين الخامسة. قد يكون صحيحا، قام بتصحيح القليل من الطبيعة، ولم تعكس الرسومات بالكامل شكل كائنات حية محددة. ويلاحظ أيضا الهياكل الثلاثة الأولى في بلورات. Dodecahedron و ikosahedra في بلورات لن تجد، على الرغم من أن Dodecahedra الخطأ و iKosahedra تأتي في بعض الأحيان هناك. يمكن أن يحدث Dodecahedra Real Dodecahedra في شكل شبه Quasicrystals، مماثلة للبلورات في كل شيء، إلا أن ذراتهم لا تشكل شعرية دورية.
// تين. 38. صور Geckel: RadioLaries في شكل Polyhedra الأيمن
// تين. 39. ماسحات ماسحات من بوليهايدا الصحيحة
من المثير للاهتمام إجراء نماذج من مادة متعدد الوكلاء الصحيحة من الورق، مما أدى إلى قطع مجموعة مسبقة من الوجوه المترابطة - وهذا ما يسمى فحص متعدد الألوان؛ يتم طي المسح على طول الأضلاع والغراء الأضلاع المقابلة بين أنفسهم. من المفيد إضافة رسوم إضافية للحصول على الغراء إلى أحد حواف كل زوج من هذا القبيل، كما هو موضح في الشكل. 39. إذا لم يكن هناك من هذه النظام الأساسي، يمكنك استخدام شريط لاصق.
معادلة الدرجة الخامسة
لا توجد صيغة جبرية لحل معادلات الدرجة الخامسة.
بشكل عام، تبدو معادلة الدرجة الخامسة مثل هذا:
aX5 + BX4 + CX3 + DX2 + EX + F \u003d 0.
المشكلة هي العثور على صيغة لحلول مثل هذه المعادلة (يمكن أن تصل إلى خمس حلول). تشير تجربة تداول المعادلات المربعة والمتعددة، وكذلك مع معادلات الشهادات الرابعة إلى أن هذه الصيغة يجب أن تكون موجودة لمعادلات الدرجة الخامسة، وفي نظرية، يجب أن تظهر جذور المركز الخامس والثالث الدرجة الثانية. مرة أخرى، يمكن أن يكون بولد لافتراض أن هذه الصيغة، إذا كان موجودا، فستكون صعبة للغاية.
تحول هذا الافتراض في نهاية المطاف إلى أن تكون خاطئة. في الواقع، لا توجد هذه الصيغة موجودة؛ على الأقل لا توجد صيغة تتكون من معاملات A، B، C، D، E و F، مؤلف باستخدام الجمع والطرح والضرب والقسمة، وكذلك استخراج الجذر. وبالتالي، من بين 5 5 هناك شيء خاص تماما. أسباب هذا السلوك غير العادي من الخمس عميقة للغاية، واستغرق الأمر الكثير من الوقت للتعامل معها.
كانت العلامة الأولى للمشكلة هي حقيقة أنه، كما لو كانت الرياضيات، حاول العثور على مثل هذه الصيغة، بغض النظر عن مدى ذكيا، فشلوا دائما. لبعض الوقت يعتقد الجميع أن الأسباب ستتلقى في التعقيد لا يصدق الصيغة. كان يعتقد أنه لن يتمكن أحد من معرفة هذه الجبر. ومع ذلك، مع مرور الوقت، بدأت بعض الرياضيات تشك في أن هذه الصيغة موجودة على الإطلاق، وفي عام 1823 تمكن نيلز هندريك أبيل من إثبات العكس. هذه الصيغة غير موجودة. بعد ذلك بوقت قصير، وجد Evarister Galua طريقة لتحديد ما إذا كانت معادلة بطريقة أو بأخرى - 5، 6، السادس، بشكل عام أي - باستخدام هذا النوع من الصيغة.
خاتمة من كل هذا بسيط: الرقم 5 خاص. يمكنك حل المعادلات الجبرية (باستخدام جذور درجة N-th لقيم مختلفة N) للدرجات 1 و 2 و 3 و 4، ولكن ليس للدرجة الخامسة. هنا، ينتهي النمط الواضح.
لا أحد مفاجآت أن معادلات الدرجات أكثر من 5 تتصرف أسوأ؛ على وجه الخصوص، يتم توصيل نفس الصعوبة معهم: لا توجد صيغ عامة لحلها. هذا لا يعني أن المعادلات ليس لديها حلول؛ هذا لا يعني أنه من المستحيل العثور على قيم عددي دقيقة للغاية لهذه الحلول. كل شيء يقتصر على أدوات الجبر التقليدية. يذكر استحالة تنشيط الزاوية بمساعدة حاكم وتداول. توجد الإجابة، لكن الأساليب المدرجة غير كافية ولا تسمح لك بتحديد ما هو عليه.
الحد البلوري
ليست البلورات في اثنين وثلاث أبعاد التماثل 5 أشعة من الدوران.
تشكل الذرات في الكريستال الشبكة، أي هيكل متكرر بشكل دوري في العديد من الاتجاهات المستقلة. على سبيل المثال، يتكرر الرسم على خلفية على طول طول لفة؛ بالإضافة إلى ذلك، يتكرر عادة في اتجاه أفقي، وأحيانا مع تحول من قطعة واحدة من ورق الحائط إلى التالي. أساسا، خلفيات هي كريستال ثنائي الأبعاد.
هناك 17 نوعا من رسومات خلفية على متن الطائرة (انظر الفصل 17). إنها تختلف في نوع التماثل، وهذا هو، وفقا للطرق، حرك الرسم الصلب بطريقة ستترك نفسه بالتأكيد في موقفها الأصلي. تشمل أنواع التماثل، على وجه الخصوص، مختلف مختلف المتغيرات من التناظر عن الدوران، حيث يجب تدوير الرسم بزاوية معينة حول نقطة معينة - مركز التماثل.
ترتيب التماثل من الدوران هو عدد المرات التي يمكنك بها تحويل الجسم إلى الدائرة الكاملة حتى يتم إرجاع جميع تفاصيل الرسم إلى المناصب الأولية. على سبيل المثال، فإن دوران 90 درجة هو تناظر دوران الطلب الرابع *. تشير قائمة الأنواع المحتملة من التماثل في الدوران في شعرية الكريستال مرة أخرى إلى غير عادي للعدد 5: ليس هناك. هناك متغيرات مع التماثل من الدوران 2 و 3 و 4 و 6 أوامر، ولكن لا يوجد رسم خلفية له تناظر دوران الطلب الخامس. إن التماثل من دوران الطلب أكثر من 6 في البلورات ليس أيضا حالة، لكن الانتهاك الأول للتسلسل مع ذلك، من بين الرقم 5.
الشيء نفسه يحدث مع الأنظمة البلورية في مساحة ثلاثية الأبعاد. هنا يكرر مصبغة في ثلاث مجالات مستقلة. هناك 219 نوعا مختلفا من التماثل، أو 230، إذا كنت تفكر في انعكاس مرآة للنمط بخيار منفصل، على الرغم من ذلك، في هذه الحالة لا يوجد تماثل مرآة. مرة أخرى، يلاحظ التماثل من دوران الطلبات 2 و 3 و 4 و 6، ولكن ليس 5. هذه الحقيقة تسمى اسم الحد البلوري.
في مساحة شعرية أربع أبعاد مع التماثل الترتيب الخامس؛ بشكل عام، بالنسبة لعرات البعد المرتفع بما فيه الكفاية ممكن، يكون أي أمر متقدم للتماثل من الدوران ممكنا.
// تين. 40. شعرية كريستال من ملح الطاولة. كرات مظلمة تصور ذرات الصوديوم، ذرات الكلور الخفيفة
quasicrystals.
على الرغم من أن التماثل من دوران الترتيب الخامس في مشطارات ثنائية الأبعاد وثلاثة الأبعاد أمر مستحيل، فقد يكون ذلك موجودا في هياكل أساسية أقل قليلا تعرف باسم شبه الكأس. الاستفادة من اسكتشات Kepler، فتح روجر Penrose أنظمة مسطحة مع نوع أكثر شيوعا من التماثل خمس مرات. لقد حصلوا على اسم شبه QuaSicrystals.
موجودة quaSicrystals في الطبيعة. في عام 1984، اكتشف دانيال شيشتمان أن الألمنيوم والمنغنيز يمكن أن تشكل شبه حطيرات. في البداية، اجتمعت بلورات رسالته مع بعض الشكوك، لكن تم تأكيد اكتشاف الاكتشاف في وقت لاحق، وفي عام 2011 حصل شيشتمان على جائزة نوبل في الكيمياء. في عام 2009، اكتشف فريق من العلماء تحت قيادة Luke Bindi Quasicrystals في معدن من مرتفعات Koryak الروسية - مزيج من الألومنيوم والنحاس والحديد. اليوم، يسمى هذا المعدن التهاب الإيكوسادر. قياس بمساعدة مطياف جماعية، والمحتوى في معدن نظائر الأكسجين المختلفة، وقد أظهر العلماء أن هذا المعدن نشأ على الأرض. لقد شكلت حوالي 4.5 مليار سنة، في حين أن النظام الشمسي قد ولدت فقط، وقضى معظم الوقت في حزام الكويكبات، وتحول إلى الشمس، حتى تغير بعض السخط مدارته ولم يقودها في النهاية على الأرض.
// تين. 41. اليسار: واحدة من المشابك شبه الرائعة مع التناظر الدقيق لمدة خمس مرات. صحيح: النموذج الذري من Icosahedral الألومنيوم - بالاديوم-المنغنيز القوي
بعد ذلك، النظر في طرق معروفة لإنشاء Trok Pythagora فعال. كان الطلاب في الباثريون أول من يخترع طريقة بسيطة لتوليد ثلاثة أضعاف ثلاثة أضعاف باستخدام صيغة تمثل أجزائها في Pythagorov Troika:
م. 2 + ((م. 2 − 1)/2) 2 = ((م. 2 + 1)/2) 2 ,
أين م. - غير متفائل، م.\u003e 2. حقا،
4م. 2 + م. 4 − 2م. 2 + 1
م. 2 + ((م. 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((م. 2 + 1)/2) 2 .
4
اقترح صيغة مماثلة الفيلسوف اليوناني القديم أفلاطون:
(2م.) 2 + (م. 2 − 1) 2 = (م. 2 + 1) 2 ,
أين م. - أي عدد. ل م. \u003d 2،3،4،5 يتم إنشاء الثلاثة الأوائل التالية:
(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).
كما ترون، لا يمكن لهذه الصيغ إعطاء جميع القوات البدائية المحتملة.
سنرى متعدد الحدود القادمة، والذي هو الطبقات على سماع متعدد الحدود:
(2م. 2 + 2م. + 1) 2 = 4م. 4 + 8م. 3 + 8م. 2 + 4م. + 1 =
=4م. 4 + 8م. 3 + 4م. 2 + 4م. 2 + 4م. + 1 = (2م.(م.+1)) 2 + (2م. +1) 2 .
وبالتالي الصيغ التالية للحصول على ثلاث مرات البدائية:
أ. = 2م. +1 , ب. = 2م.(م.+1) = 2م. 2 + 2م. , جيم = 2م. 2 + 2م. + 1.
تولد هذه الصيغ ثلاثة، حيث يختلف متوسط \u200b\u200bالفرق من الأكبر بسلاسة واحدة، وهذا هو، وليس جميعا ممكنا ثلاثة. هنا الثلاثة الأولى هي: (7،12،13)، (7.24.25)، (9.40.41)، (11.60،61).
لتحديد طريقة توليد جميع ثلاث مرات البدائية، يجب استكشاف خصائصها. أولا، إذا ( أ، ب، ج) - ترويكا البدائية، ثم أ. و ب., ب. و جيم, لكن و جيم - يجب أن تكون بسيطة طلي. اسمحوا ان أ. و ب. تنقسم إلى د.وبعد ثم أ. 2 + ب. 2 - مقسمة أيضا د.وبعد على التوالى، جيم 2 أولا جيم يجب مشاركته د.وبعد وهذا هو، إنها ليست ترويكا البدائية.
ثانيا، من بين الأرقام أ., ب. يجب أن يكون المرء زوج، والآخر غير أمران. في الواقع، إذا أ. و ب. - زوج، ثم من عند سيكون ذلك زوجا، ويمكن تقسيم الأرقام على الأقل 2. إذا كانت كلاهما غير متجانسة، فيمكن أن تمثل 2 ك.+1 أنا 2. ل.+1، حيث ك.,ل. - بعض الأرقام. ثم أ. 2 + ب. 2 = 4ك. 2 +4ك.+1+4ل. 2 +4ل.+1، وهذا هو، من عند 2، مثل أ. 2 + ب. 2، عند تقسيم 4 لديه بقايا 2.
اسمحوا ان من عند - أي رقم، وهذا هو من عند = 4ك.+أنا. (أنا.\u003d 0، ...، 3). ثم من عند 2 = (4ك.+أنا.) 2 لديه بقايا 0 أو 1 ولا يمكن أن يكون لديك بقايا 2. لذلك أ. و ب. لا يمكن أن يكون غير محدود، وهذا هو أ. 2 + ب. 2 = 4ك. 2 +4ك.+4ل. 2 +4ل.+1 وتوازن القسم من عند 2 في 4 يجب أن يكون 1، مما يعني ذلك من عند يجب أن يكون غير محدود.
مثل هذه المتطلبات لعناصر Troika Pythagorar تلبي الأرقام التالية:
أ. = 2mN., ب. = م. 2 − ن. 2 , جيم = م. 2 + ن. 2 , م. > ن., (2)
أين م. و ن. - بسيطة بشكل متبادل مع مختلف المقترن. لأول مرة، أصبحت هذه الاعتماد معروفة من أعمال الإكليد، والتي عشت 2300 ص. عودة.
نثبت صحة التبعيات (2). اسمحوا ان لكن - زوج، ثم ب. و جيم - غير مهتم. ثم جيم + ب. أنا. جيم − ب. - يقترن. يمكن تمثيلها جيم + ب. = 2u. و جيم − ب. = 2الخامس.أين u.,الخامس. - بعض الأعداد الصحيحة. لذا
أ. 2 = من عند 2 − ب. 2 = (جيم + ب.)(جيم − ب.) = 2u.· 2. الخامس. = 4الأشعة فوق البنفسجية.
وبالتالي ( أ./2) 2 = الأشعة فوق البنفسجية..
يمكن أن يثبت من سيئة u. و الخامس. - بسيطة متبادلة. اسمحوا ان u. و الخامس. - تنقسم إلى د.وبعد ثم ( جيم + ب.) و ( جيم − ب.) مقسمة إلى د.وبعد وبالتالي جيم و ب. يجب مشاركته د.وهذا يتناقض مع الشرط إلى Troika Pythagoras.
مثل الأشعة فوق البنفسجية. = (أ./ 2) 2 و u. و الخامس. - بسيطة، من السهل إثبات ذلك u. و الخامس. يجب أن يكون بعض المربعات أرقام.
وبالتالي، هناك أعداد صحيحة إيجابية م. و ن. ، مثل ذلك u. = م. 2 أولا الخامس. = ن. 2. ثم
لكن 2 = 4الأشعة فوق البنفسجية. = 4م. 2 ن. 2 إذن
لكن = 2mN.; ب. = u. − الخامس. = م. 2 − ن. 2 ; جيم = u. + الخامس. = م. 2 + ن. 2 .
مثل ب. \u003e 0، ثم م. > ن..
يبقى لإظهار ذلك م. و ن. لديك مختلفة مقترنة. اذا كان م. و ن. - زوج، ثم u. و الخامس. يجب أن يكون زوج، ومن المستحيل، لأنها بسيطة طلي. اذا كان م. و ن. - غير متفائل، إذن ب. = م. 2 − ن. 2 أولا جيم = م. 2 + ن. 2 سيكون زوج، وهو أمر مستحيل، ل جيم و ب. - بسيطة متبادلة.
وبالتالي، يجب على أي Troika Pytagorova البدائية تلبية الظروف (2). في الوقت نفسه، الأرقام م. و ن. اتصل توليد الأرقام ثلاثية بدائية. على سبيل المثال، دعهم يحصلون على Troika Pythagorov البدائي (120،119،169). في هذه الحالة
لكن \u003d 120 \u003d 2 · 12 · 5، ب. \u003d 119 \u003d 144 - 25 و جيم = 144+25=169,
أين م. = 12, ن. \u003d 5 - توليد الأرقام، 12\u003e 5؛ 12 و 5 هي بسيطة ومختلفة بشكل متبادل.
يمكنك إثبات عكس هذه الأرقام م., ن. وفقا للصيغ (2)، فإنها تعطي ترويكا pepagorov البدائية (أ، ب، ج). حقا،
لكن 2 + ب. 2 = (2mN.) 2 + (م. 2 − ن. 2) 2 = 4م. 2 ن. 2 + (م. 4 − 2م. 2 ن. 2 + ن. 4) =
= (م. 4 + 2م. 2 ن. 2 + ن. 4) = (م. 2 + ن. 2) 2 = جيم 2 ,
بمعنى آخر ( أ.,ب.,جيم) - Pytagorova Troika. نثبت ذلك في نفس الوقت أ.,ب.,جيم - أرقام بسيطة متبادلة من سيئة. دع هذه الأرقام مقسمة إلى p. \u003e 1. منذ ذلك الحين م. و ن. لدينا مختلفة مقترنة، ثم ب. و جيم - غير متفائل، وهذا هو p. ≠ 2. منذ ذلك رديئة ديليت ب. و جيمT. رديئة يجب مشاركة 2. م. 2 و 2. ن. 2، وهذا مستحيل، ل p. ≠ 2. لذلك م., ن. - بسيطة تبادلي و أ.,ب.,جيم - بسيط أيضا بسيطة.
يوضح الجدول 1 جميع الفيثوغوراس البدائية الثلاثة، التي تم إنشاؤها بواسطة الصيغ (2) ل م.≤10.
الجدول 1. Pythagora البدائية Troika ل م.≤10
| م. | ن. | أ. | ب. | جيم | م. | ن. | أ. | ب. | جيم |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 8 | 1 | 16 | 63 | 65 |
| 3 | 2 | 12 | 5 | 13 | 8 | 3 | 48 | 55 | 73 |
| 4 | 1 | 8 | 15 | 17 | 8 | 5 | 80 | 39 | 89 |
| 4 | 3 | 24 | 7 | 25 | 8 | 7 | 112 | 15 | 113 |
| 5 | 2 | 20 | 21 | 29 | 9 | 2 | 36 | 77 | 85 |
| 5 | 4 | 40 | 9 | 41 | 9 | 4 | 72 | 65 | 97 |
| 6 | 1 | 12 | 35 | 37 | 9 | 8 | 144 | 17 | 145 |
| 6 | 5 | 60 | 11 | 61 | 10 | 1 | 20 | 99 | 101 |
| 7 | 2 | 28 | 45 | 53 | 10 | 3 | 60 | 91 | 109 |
| 7 | 4 | 56 | 33 | 65 | 10 | 7 | 140 | 51 | 149 |
| 7 | 6 | 84 | 13 | 85 | 10 | 9 | 180 | 19 | 181 |
يوضح تحليل هذا الجدول وجود الصف التالي من الأنماط:
- أو أ.، أو ب. مقسوما على 3؛
- واحدة من الأرقام أ.,ب.,جيم مقسوما على 5؛
- عدد لكن مقسوما على 4؛
- تكوين أ.· ب. مقسوما على 12.
في عام 1971، عرضت علماء الرياضيات الأمريكيون Taygan و Hedwin لتوليد ثلاثة أضعاف هذه المعلمات الشهيرة مثلث المستطيل، كما طولها (ارتفاع) حاء = جيم - ب و فائض (النجاح) هيا = أ. + ب. − جيموبعد في الشكل 1. يتم عرض هذه القيم على بعض مثلث مستطيل.
الشكل 1. مثلث مستطيل وارتفاعه ويزيد
يتم اشتقاق الاسم "الزائد" من حقيقة أن هذه مسافة إضافية تحتاج إلى الذهاب عبر عملاء المثلث من قمة واحدة إلى العكس، إذا لم تتبع ذلك قطريا.
من خلال فائض ونمو جانب مثلث فيثاغوري، يمكن التعبير عن مثل:
هيا 2 هيا 2
أ. = حاء + هيا, ب. = هيا + ——, جيم = حاء + هيا + ——, (3)
2حاء 2حاء
ليس كل مجموعات حاء و هيا يمكن الرد على مثلثات بيثاغورا. للحصول على محدد حاء القيم الممكنة هيا - هذه تعمل لبعض العدد د.وبعد هذا هو الرقم د. لديه اسم الزيادة ويشير إلى حاء بالطريقة الآتية: د. - هذا هو أصغر عدد صحيح إيجابي يتم تقسيم مربعها إلى 2 حاءوبعد مثل هيا مضاعف د.ثم هو مكتوب كما هيا = kD.أين ك. - عدد صحيح إيجابي.
بمساعدة البخار ( ك.,حاء) يمكنك توليد جميع مثلثات Pythagora، بما في ذلك intimitive وتعميم، على النحو التالي:
(dK.) 2 (dK.) 2
أ. = حاء + dK., ب. = dK. + ——, جيم = حاء + dK. + ——, (4)
2حاء 2حاء
و الثلاثة الأوائل هي بدائية إذا ك. و حاء - بسيطة متبادلة وإذا حاء =± س: 2 ل س: - ليس جزءا.
بالإضافة إلى ذلك، سيكون بيثورلا ترويكا، إذا ك. \u003e 2 · حاء/د. و حاء > 0.
لايجاد ك. و حاء من عند ( أ.,ب.,جيم) تنفيذ الإجراءات التالية:
- حاء = جيم − ب.;
- سجل حاء مثل حاء = pQ. 2، حيث p. \u003e 0 ومثل هذا ليس مربعا؛
- د. = 2pQ. اذا كان p. - عدم الفان د. = pQ. إذا ص زوج؛
- ك. = (أ. − حاء)/د..
على سبيل المثال، للحصول على الثلاثي (8،15،17) لدينا حاء \u003d 17-15 \u003d 2 · 1، لذلك p. \u003d 2 أولا س: = 1, د. \u003d 2 و ك. \u003d (8 - 2) / 2 \u003d 3. لذلك يتم تعيين هذا الثلاثي كما ( ك.,حاء) = (3,2).
لأعلى ثلاثة (459،1260،1341) لدينا حاء \u003d 1341 - 1260 \u003d 81، لذلك p. = 1, س: \u003d 9 د. \u003d 18، من هنا ك. \u003d (459 - 81) / 18 \u003d 21، لذلك رمز هذا الثلاثي متساوي ( ك.,حاء) = (21, 81).
Trok مهمة مع حاء و ك. لديها عدد من الخصائص المثيرة للاهتمام. معامل ك. تساوي
ك. = 4س./(موانئ دبي.), (5)
أين س. = من/ 2 - مساحة المثلث، و P. = أ. + ب. + جيم - محيطه. يتبع من المساواة eP. = 4س.الذي يخرج من نظرية Pythagora.
لمثلث مستطيل هيا يساوي القطر المدرج في مثلث الدائرة. يخرج من حقيقة أن انخفاض ضغط الدم من عند = (لكن − رديئة)+(ب. − رديئة) = أ. + ب. − 2رديئةأين رديئة - دائرة نصف قطر الدائرة. من هنا حاء = جيم − ب. = لكن − 2رديئة و هيا = أ. − حاء = 2رديئة.
ل حاء \u003e 0 ك. > 0, ك. هو رقم التسلسل ثلاثي أ.-ب.-جيم في تسلسل مثلثات Pythagora بالنمو حاءوبعد من الجدول 2، حيث يتم تمثيل العديد من أنواع مختلفة من الرحلات التي تم إنشاؤها بواسطة أزواج حاء, ك.، من الواضح أنه مع زيادة ك. حجم جوانب مثلث الزيادة. وبالتالي، على عكس الترقيم الكلاسيكي، الأزواج حاء, ك. لديها ترتيب أكبر في تسلسل ثلاثي.
الجدول 2. Pythagora Troika، الذي تم إنشاؤه بواسطة أزواج H، K.
| حاء | ك. | أ. | ب. | جيم | حاء | ك. | أ. | ب. | جيم |
| 2 | 1 | 4 | 3 | 5 | 3 | 1 | 9 | 12 | 15 |
| 2 | 2 | 6 | 8 | 10 | 3 | 2 | 15 | 36 | 39 |
| 2 | 3 | 8 | 15 | 17 | 3 | 3 | 21 | 72 | 75 |
| 2 | 4 | 10 | 24 | 26 | 3 | 4 | 27 | 120 | 123 |
| 2 | 5 | 12 | 35 | 37 | 3 | 5 | 33 | 180 | 183 |
ل حاء > 0, د. يرضي عدم المساواة 2√. حاء ≤ د. ≤ 2حاءحيث تتحقق الحدود الدنيا عندما p. \u003d 1، والجزء العلوي - عندما س: \u003d 1. لذلك، القيمة د. فيما يتعلق 2√. حاء - هذا مقياس كم حاء عن بعد من مربع عدد قليل.
Pythagoras ثلاثة أرقام
عمل ابداعي
الطالب 8. "أ" صف دراسي
ماو "صالة رياضية №1"
Oktyabrsky حي ساراتوف
بانفيلوفا فلاديمير
رئيس - مدرس الرياضيات من أعلى فئة
Grishin Irina فلاديميروفنا
محتوى
مقدمة ................................................. ............................................. 3.
الجزء النظري من العمل
العثور على مثلث البياغاجوري الرئيسي
(صيغ الهندوس القديمة) ......................................... .......................... 4.
جزء عملي من العمل
إعداد الفقرات بيباغوروفي بطرق مختلفة ...........................
خاصية مهمة من مثلثات البيتثاجورا ........................................ . 8.
استنتاج ................................................. ...................................................
المؤلفات ... .............................................. ....................................... ... 10.
مقدمة
في هذه السنة الدراسية، في دروس الرياضيات، درسنا واحدة من نظريات الهندسة الأكثر شعبية - نظرية فيثاجور. يستخدم نظرية Pythagora في الهندسة في كل خطوة، وقد استخدم على نطاق واسع في الممارسة العملية والحياة اليومية. ولكن، إلى جانب نظرية نفسها، درسنا أيضا نظرية العودة إلى نظرية Pythagora. فيما يتعلق بدراسة هذا النظرية، كان لدينا معارف مع ثورات فيثاغوروفي من الأرقام، I.E. مع مجموعات من 3 أرقام طبيعيةأ. , ب. وجيم التي تكون النسبة صحيحا: = + وبعد تشمل هذه المجموعات، على سبيل المثال، الثلاثة الأوائل التالية:
3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37
لدي أي أسئلة على الفور: كم عدد Pythagora Trok يمكن أن يأتي؟ وكيف تجعلهم؟
في كتابنا المدرسي من الهندسة بعد عرض نظرية، أصبحت النظري العكسي، Pythagora، ملاحظة مهمة: يمكنك إثبات أن Kartetsلكن وب. و hypotenuse.من عند مثلثات مستطيلة يتم التعبير عن أطوالها بأرقام طبيعية، ويمكن العثور عليها من قبل الصيغ:
لكن \u003d 2kmn ب \u003d ك ( - ) ج \u003d ك ( + , (1)
أينك. , م. , ن. - أي أرقام طبيعية، وم. > ن. .
بطبيعة الحال، فإن السؤال ينشأ - كيفية إثبات هذه الصيغ؟ ومن الممكن جعل الترويكا فيثاغورا على هذه الصيغ؟
في عملي، قمت بمحاولة الإجابة عن أسئلتي.
الجزء النظري من العمل
العثور على مثلث البيتثاجوري الرئيسي (صيغ الهندوس القديمة)
أولا، نثبت الصيغة (1):
تدل على طول القسطرة من خلالحاء ود ، وطول ارتفاع ناقلاتz. وبعد بواسطة نظرية فيثاجور، لدينا المساواة:+ = .(2)
وتسمى هذه المعادلة معادلة فيثاغوري. يتم تقليل دراسة مثلثات Pythagora لحل الأرقام الطبيعية من المعادلة (2).
إذا زاد كل جانب من بعض مثلث بيباجوروف في نفس العدد المرات، فإننا نحصل على مثلث مستطيل جديد، على غرار هذا مع الأطراف، عبر عنها أرقام طبيعية، I.E. مرة أخرى مثلث pythagora.
من بين كل مثلثات هذه الأصغر، من السهل تخمين أنها ستكون مثلثاحاء ود أعرب عن أعداد بسيطة
(العقدة (x، W. )=1).
مثل مثلث بيثاغورا دعونا ندعوأساسي .
تقديم مثلثات Pythagora الرئيسية.
دع المثلث (عاشر , ذ. , z. ) - مثلث البيتثاجورا الرئيسي. أعدادحاء ود - بسيطة متبادلة، وبالتالي لا يمكن أن يكون حتى. نثبت أنهم لا يمكن أن يكونوا غريبين. للقيام بذلك، نلاحظ ذلكمربع رقم فردي عند تقسيم 8 يعطي في البقايا 1. في الواقع، يمكن تمثيل أي عدد طبيعي غريب2 ك. -1 أينك. تنتمين. .
من هنا: = -4 ك. +1 = 4 ك. ( ك. -1)+1.
أعداد( ك. -1) وك. - متسق، واحد منهم هو بالضرورة حتى. ثم التعبيرك. ( ك. -1) مقسمة2 , 4 ك. ( ك. -1) مقسوما على 8، وبالتالي العدد عند تقسيم 8 يعطي البقايا 1.
يمنح مجموع مربعات رقمين فرديين عند مقسومه بمقدار 8 في المخلفات 2، وبالتالي، فإن مجموع مربعات أرقامين فرديين هو الرقم حتى، ولكن ليس متعددة 4، وبالتالي فهذا هو الرقملا يمكن أن يكون مربع رقم طبيعي.
لذلك، المساواة (2) لا يمكن أن يكون لديك مساحة إذاعاشر ود كلاهما غريب.
وهكذا، إذا كانت مثلث بيثاغورا (x، ذ، z. ) - واحد رئيسي بين الأرقامحاء ود يجب أن يكون المرء حتى، والآخر غريبة. دع الرقم y يكون حتى. أعدادحاء وz. غريب (غريبz. يتبع من المساواة (2)).
من المعادلة+ = نحن نحصل على ذلك= ( z. + عاشر )( z. - عاشر ) (3).
أعدادz. + عاشر وz. - عاشر كما هو مبلغ وفرق اثنين من الأرقام الفردية - الأرقام حتى، وبالتالي (4):
z. + عاشر = 2 أ. , z. - عاشر = 2 ب. أينلكن وب. مملوكةن. .
z. + عاشر =2 أ. , z. - عاشر = 2 ب. ,
z. = a + B. , عاشر = أ. - ب. (5)
من هذه المعادلات التي يتبع ذلكأ. وب. - أرقام بسيطة متبادلة.
نحن نثبت ذلك، بحجة من العكس.
دع إيماءة (أ. , ب. )= د. أيند. >1 .
ثمد. z. وعاشر ، وبالتالي الأرقامz. + عاشر وz. - عاشر وبعد ثم على أساس المساواة (3) سيكون مقسما للعدد وبعد في هذه الحالةد. سيكون مقسما مشترك للأرقامد وحاء ، ولكن الأرقامد وحاء يجب أن يكون بسيطا بعضيا.
عددد ، كما تعلمون، حتى، لذلكy \u003d 2S. أينمن عند - عدد طبيعي. يتولى المساواة (3) على أساس المساواة (4) النموذج التالي: \u003d 2A * 2 ب. ، أو \u003d أب.
من الحساب معروف بذلكإذا كان منتج اثنين من الأرقام البسيطة المتبادلة هو مربع من رقم طبيعي، فإن كل من هذه الأرقام هو أيضا مربع رقم طبيعي.
هذا يعنيa \u003d. وب. = أينم. ون. - أرقام بسيطة متبادلة، ل هم مقسيات بأرقام بسيطةلكن وب. .
بناء على المساواة (5) لدينا:
z. = + , عاشر = - , = من = * = ؛ ج \u003d. mN.
ثمy \u003d 2. mN. .
أعدادم. ون. لأن إنها بسيطة طلي، لا يمكن أن تكون في نفس الوقت حتى. ولكن وغردو في وقت واحد لا يمكن أن يكون، ل في هذه الحالةس \u003d - سيكون ذلك مستحيلا. لذلك، واحدة من الأرقامم. أون. حتى، وآخر غريب. بوضوحy \u003d 2. mN. يتم تقسيمه إلى 4. وبالتالي، في كل مثلث في كل بيتثورة رئيسي، يتم تقسيم واحد على الأقل من القسث من خلال 4. من هنا، من هنا، لا توجد مثلثات Pythagora، جميع الأطراف التي ستكون أرقاما بسيطة.
يمكن التعبير عن النتائج التي تم الحصول عليها في شكل نظرية ما يلي:
جميع المثلثات الرئيسية التيد هذا هو الرقم، الذي تم الحصول عليه من الصيغة
س \u003d - , ذ. =2 mN. , z. = + ( م. > ن. ), أينم. ون. - جميع أزواج الأرقام البسيطة المتبادلة، منها واحدة حتى، وغريب آخر (غير مبال، ماذا). كل كبرى pythorla ترويكا (x، ذ، z. )، أيند - حتى، - يتم تعريفه بهذه الطريقة بشكل فريد.
أعدادم. ون. قد يكون هناك كلاهما غريبا أو كلاهما في هذه الحالات
س \u003d سيكون حتى هذا مستحيل. لذلك واحدة من الأرقامم. أون. حتى، وآخر غريب (ذ. = 2 mN. مقسوما على 4).
جزء عملي من العمل
تجميع ثلاثي الثيثاجور في طرق مختلفة
في صيغ الهندوسيةم. ون. - بسيطة بشكل متبادل، ولكن قد تكون أعداد التكافؤ التعسفي وارسم بيثاغورا ترويكا صعبة بما فيه الكفاية. لذلك، دعونا نحاول إيجاد نهج آخر لإعداد Pythagora Trok.
= - = ( z. - ذ. )( z. + ذ. ), أينحاء - الفردية،ذ. - حتى فيz. - الفردية
الخامس. = z. - ذ. , u. = z. + ذ.
= الأشعة فوق البنفسجية. أينu. - الفردية،الخامس. - غريب (بسيطة طلي)
لأن عمل اثنين من الأرقام البسيطة الغريبة هو مربع من رقم طبيعي، ثمu. = , الخامس. = , أينك. ول. - بأعداد بسيطة، فردية.
z. - ذ. = z. + ذ. = ك. 2 , من أين، للطي المساواة وخصم من الآخر، نحصل على:
2 z. = + 2 ذ. = - أي
z \u003d. ذ \u003d. x \u003d kl.
ك.
ل.
عاشر
ذ.
z.
37
9
1
9
40
41 (س.zerule.)*(100…0 (س.zerule.) +1)+1 =200…0 (S-1zerule.) 200…0 (S-1zerule.) 1
الممتلكات المهمة مثلثات Pythagora
نظرية
في مثلث Pythagora الرئيسي، يتم تقسيم إحدى القسث بالضرورة إلى 4، واحدة من القسهات مقسمة بالضرورة إلى 3، ومنطقة مثلث Pythazhov بالتأكيد متعددة 6.
شهادة
كما نعلم، في كل مثلث بيثاغورا، يتم تقسيم واحدة على الأقل من القسثات على 4.
نثبت أن أحد القسهات مقسمة إلى 3.
لإثبات، لنفترض في مثلث بيثاغورا (عاشر , ذ. , z. عاشر أوذ. سورلي 3.
الآن نثبت أن مثلث بيتاجوروفا مربع مقسوما على 6.
يوجد أي مثلث بيثاغورا مساحة تعبر عنها عن طريق الرقم الطبيعي، متعددة 6. وهذا يتبع من حقيقة أن واحد على الأقل من القسث ينقسم إلى 3 ويتم تقسيم واحد على الأقل من القسث من خلال 4. مساحة المثلث المحدد من خلال انهيار القسث يجب أن يعبر عنها الرقم 6.
استنتاج
في العمل
- ثبت صيغة الصناعات القديمة
- دراسة عن عدد ثلاثي ثلاث مرات (لها بلا حدود)
- طرق لإيجاد Trok Pythagorovy
قامت ببعض خصائص مثلثات Pythagora
بالنسبة لي، كان موضوع مثير للاهتمام للغاية وإيجاد إجابات لأسئلتي أصبحت مهنة مثيرة للاهتمام للغاية. في المستقبل، أخطط للنظر في صلة Troks Pythagorovy مع تسلسل Fibonacci ومظهر المزرعة وتعلم العديد من خصائص مثلثات Pythagora.
المؤلفات
ل Atanasyan "Geometry.7-9 الفصول" م: التنوير، 2012.
V. Serpinsky "مثلثات Pythagora" م: Stockedgiz، 1959.
ساراتوف
2014